ANALISI MATEMATICA B

Il corso fornisce conoscenze e competenze relative agli integrali impropri, alle equazioni differenziali, alle curve, al calcolo differenziale ed integrale in più variabili.

Al termine del corso ci si attende che lo studente sia in grado di:

Conoscenza e capacità di comprensione:
Conoscere la teoria relativa a
- integrazione in senso improprio
- equazioni differenziali ordinarie
- curve
- funzioni di due o tre variabili reali: legge, dominio, zeri e segno, insiemi di livello, equazione del grafico, superfici (piano, paraboloide circolare, cono circolare, semi-superficie sferica)
- topologia nel piano: intorni, punto interno, esterno e di bordo, insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti
- funzioni continue e teorema di Weierstrass
Conoscere
- i fondamenti del calcolo differenziale per una funzione di più variabili reali: derivate parziali, gradiente, piano tangente, differenziabilità, derivata direzionale, massima pendenza e direzione di massima salita, relazione tra il gradiente e gli insiemi di livello, derivate successive e matrice Hessiana
- l’enunciato e le applicazioni dei teoremi del Differenziale Totale e di Schwartz
- le definizioni di punto di massimo o minimo locale e assoluto e di punto di sella
- la definizione di punto stazionario e l’enunciato del teorema di Fermat
- il teorema sulle condizioni sufficienti per lo studio della natura dei punti stazionari
- la formula di derivazione di funzione composta con una curva
- il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange
- la definizione di integrale doppio e il suo significato geometrico
- la definizione di dominio normale ed i teoremi di Riduzione
- il teorema di Cambiamento di variabile negli integrali doppi
- i teoremi di Riduzione per fili e per strati negli integrali tripli.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Saper
- valutare l’eventuale convergenza o divergenza di un integrale improprio
- risolvere un’equazione differenziale o un problema di Cauchy
- riconoscere e disegnare il sostegno di una curva piana, determinare i vettori e versori tangenti e normali, l’equazione delle rette tangente e normale e la lunghezza della curva
- determinare per una curva nello spazio l’equazione della retta tangente, del piano per un punto perpendicolare a tale retta e la lunghezza
- risolvere le disequazioni in due variabili
- scrivere le equazioni parametriche di una curva assegnata e dei tratti del bordo di un insieme
- determinare e rappresentare il dominio, gli zeri, il segno e gli insiemi di livello di una funzione
- scrivere l’equazione del grafico e disegnare la superficie individuata
- disegnare un solido nello spazio
- identificare i punti interni, esterni e di bordo di un insieme; stabilire se un insieme è aperto, chiuso, limitato o compatto
- calcolare le derivate parziali di una funzione, il gradiente, il piano tangente, le derivate direzionali, analizzare le pendenze del grafico
- stabilire se una funzione è differenziabile
- calcolare le derivate seconde, la matrice Hessiana ed eventuali derivate successive
- determinare i punti stazionari di una funzione e studiarne la natura
- applicare il teorema di Weierstrass
- determinare il massimo e il minimo assoluti di una funzione
- applicare il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange
Saper calcolare
- un integrale doppio o triplo
- il volume di un solido
- le coordinate del baricentro di una figura piana e di un solido nello spazio.

Autonomia di giudizio:
Essere in grado di
- comprendere i meccanismi matematici utilizzati negli altri corsi
- verificare l’attendibilità dei risultati
- affrontare un nuovo problema e impostarne la soluzione
- organizzare con precisione il proprio lavoro.

Capacità comunicative:
Saper comunicare contenuti matematici, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo.

Capacità di apprendimento:
Saper affrontare un approfondimento autonomo di eventuali applicazioni che possano rendersi necessarie all’interno di uno studio o di un progetto.