CALCOLO IV
cod. 13599

Anno accademico 2009/10
2° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Analisi matematica (MAT/05)
Field
Discipline matematiche
Tipologia attività formativa
Base
32 ore
di attività frontali
4 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

<br />Fornire padronanza nell'utilizzo di successioni e serie di funzioni con i relativi tipi di convergenza. In particolare serie di Fourier.<br />Fornire strumenti per l'utilizzo delle funzioni di variabile complessa e dei loro integrali. In particolare serie di Taylor e di Laurent, teorema dei residui e definizione della trasformata di Fourier.

Prerequisiti

<br />Calcolo I<br />Calcolo II<br />Calcolo III

Contenuti dell'insegnamento

 <br />SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Criteri di Cauchy. Teorema di limitatezza. Teorema di scambio dei limiti (en). Teorema di continuità. Teorema di integrabilità (en). Teorema di derivabilità.<br />Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta. Criteri del resto n-esimo. Criteri di Cauchy. Condizioni necessarie di Cauchy. Convergenza totale. Criterio di Weierstrass. Teoremi di limitatezza, continuità. Teoremi di integrabilità e derivabilità per serie.<br /><br />NUMERI COMPLESSI. Forma cartesiana, polare, esponenziale. <br />Potenze e radici n-esime. Le funzioni elementari in campo complesso.<br /><br />FUNZIONI OLOMORFE. Derivabilità di funzioni complesse di variabile complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann e loro significato geometrico e cinematico. Differenziabilità in senso reale ed in senso complesso. Proprietà della derivata. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di De l'Hopital (en).<br /><br />SERIE DI POTENZE. Raggio di convergenza. Derivabilità termine a termine. Serie di Taylor. Criterio di Abel. Sviluppi di funzioni elementari. Funzioni analitiche reali.<br />SERIE DI FOURIER. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza in media quadratica. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Fischer-Riesz.<br /><br />Integrali dipendenti da parametro (en).<br /><br />INTEGRALI CURVILINEI. Curve di Jordan. Teorema di Cauchy. Formula di rappresentazione integrale di Cauchy. Teorema del valor medio. Principio del massimo. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula di rappresentazione integrale per le derivate successive. Teorema di Morera. Il limite uniforme di funzioni olomorfe è una funzione olomorfa. Teorema di Liouville. Principio di identità delle funzioni olomorfe.<br /><br />SERIE DI LAURENT. Metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dei primi coefficienti della serie di Laurent. <br />Singolarità isolate. Classificazione. Caratterizzazioni. Singolarità isolata all'infinito. Classificazione. <br />Singolarità non isolate.<br /><br />RESIDUI. Residui al finito. Residuo all'infinito. Teorema dei residui. Calcolo pratico dei residui nei poli.<br /><br />VALORE PRINCIPALE. Valore principale secondo Cauchy di integrali impropri e teorema di calcolo. Lemma del grande cerchio. Lemma di Jordan. Applicazione al calcolo di trasformate di Fourier.

Programma esteso

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Bibliografia

 1) Barozzi-Matarazzo, " Metodi Matematici per l'Ingegneria", ed. Zanichelli<br />2) Pagani-Salsa, " Analisi matematica II", ed. Masson<br />3) Spiegel " Analisi Complessa", collana Schaum's<br />4) Appunti del docente reperibili al centro fotocopie del Dip. Fisica

Metodi didattici

Prova scritta seguita da prova orale

Modalità verifica apprendimento

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Altre informazioni

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