Obiettivi formativi
Fornire una solida base teorica che permetta lo studio quantitativo e qualitativo di equazioni differenziali stocastiche in ambiti di ricerca e in ambiti industriali (applicazioni alla finanza e più in generale alla modellazione di sistemi con noise).
Prerequisiti
Spazi misurabili e di probabilità, lemmi di Borel-Cantelli, variabili aleatorie, speranza matematica, convergenze di variabili aleatorie, spazi L^p
Contenuti dell'insegnamento
Processi stocastici, moto browniano, integrale stocastico, martingale, equazioni differenziali stocastiche
Programma esteso
"Processi stocastici, vettori gaussiani, legge di un processo, processi gaussiani, modificazioni, equivalenza per p.s., teorema di estensione di Kolmogorov, lemma di Doob, indipendenza;
moto browniano, teorema di regolarità di Kolmogorov, esistenza e unicità del BM, proprietà e trasformazioni elementari, variazione quadratica, il BM non è bv, hölderianità, integrale di Stieljes ed estensioni, processi adattati a filtrazioni;
speranza condizionale, esistenza e unicità e proprietà elementari;
processi progressivamente misurabili, densità dei processi semplici, definizione dell'integrale stocastico per processi M^2, proprietà elementari, isometria di Itô;
martingale a tempi discreti e continui, tempi d'arresto, optional stopping theorem, optional sampling theorem, continuità dell'integrale stocastico;
definizione dell'integrale stocastico per processi M^2_loc;
equazioni differenziali stocastiche."
Bibliografia
Francesco Caravenna - Moto browniano e analisi stocastica
Daniel Revuz, Marc Yor - Continuous Martingales and Brownian Motion
Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve - Brownian Motion and Stochastic Calculus
David Williams - Probability with Martingales
Paolo Baldi - Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni
Bernt Øksendal - Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications"
Metodi didattici
42 ore di lezioni frontali
Modalità verifica apprendimento
Esame orale
Altre informazioni
Il materiale didattico disponibile sul sito lea.unipr.it comprende i video e le lavagnate delle lezioni, che sono svolte tramite tablet computer